题目大意:有\(n\)个副本,副本可以升级,每个副本有三个值\( a_i , b_i , p_i \),其中\(a_i\)表示该副本在升级前通关的奖励,\(b_i\)表示该副本在升级后通关的奖励,\(p_i\)表示通关该副本的概率。玩家总共可以挑战\(t\)次副本,当玩家挑战某一副本成功后,它可以选择任意一个副本升级(当次不享受升级优惠),求能获得奖励的最大期望。数据范围:\( 1 \leq n \leq 10^5 , 1 \leq t \leq 10^10 , 1 \leq a_i < b_i \leq 10^8 , 0 < p_i < 1\) notice:这篇题解是错的,待修改 题解:如果某一次挑战副本成功了,接下来一定是选择\(b_i \cdot p_i\)最大的那个升级,并一直挑战那个副本。而在此之前,我们肯定只会选择一个最佳的副本一直挑战。如果升级前挑战的副本为i,升级后挑战的副本为j,那么有\[ ans = \sum_{k=1}^{t}{(1-p_i)^{k-1} ( a_i + (n-k)p_j \cdot b_j )} \] 设\( p = p_i , q = 1…
期望
[ HDU6309 ] Absolute
题目大意:给定n个区间\([l_i , r_i]\),\(-10^6 \leq l_i \leq r_i \leq 10^6\)且\(l_i , r_i\)都为整数,\(x_i\)为对应范围内的一个随机实数,求\(| \sum{x_i} | \)的期望。\( n \leq 15\),答案对998244353取模。 题解:和这道题基本上是一样的,容斥方法一样。 分成\(\sum{x_i}\)小于0和大于0两部分来考虑,两部分的做法一样。以小于0的部分为例,首先将范围进行调整,将\(x_i\)的范围调整为\([0,r_i – l_i]\),那么符合条件的范围即\( \sum{l_i} + \sum{x_i} < 0\),即\( 0 \leq |\sum{x_i}| < |\sum{l_i}| \),求此时\( |\sum{l_i}| – |\sum{x_i}|\)的期望。容斥的方法和上面的那个是一样的,不同之处在于这题求的不是概率,还要考虑\(\sum{x_i}\)的期望。这里可以通过积分求出,当\[0 \leq x_i \leq a\] \[0 \leq \sum{x_i} \leq a\]时,该部分\(a – \sum{x_i}\)的期望为\(\frac{a^n}{xpro \cdot n!}\),其中\(xpro = \prod{(r_i – l_i)}\)。(不是很严谨,意会一下即可)
[ HDU6305 ] RMQ Similar Sequence
题意:定义一个数列A的\(RMQ(A,l,r)\)为使得\(a_i\)为\(a_l,a_{l+1},a_{l+2}, \cdots ,a_r\)中最大数的最小的i。 对于两个数列A与B,定义它们RMQ相似当且仅当两数列元素个数相等且对于所有的\(1 \leq l \leq r \leq n\),有\( RMQ(A,l,r)=RMQ(b,l,r)\)。 现在给你一个正整数数列\(\{a_i\}\),其中\(1 \leq a_i \leq n\),对于实数数列\(\{b_i\}\),其中\(b_i\)为\([0…1]\)中随机的一个实数,当数列A与B RMQ相似时,B的权值为\(\sum{b_i}\),否则为0,求B权值的期望。(答案对\(10^9 + 7\)取模)(\(1 \leq n \leq 10^6\)) 题解:首先要观察两个序列RMQ相似的条件。当数列A是一个1..n的全排列时,两个序列RMQ相似当且仅当B中元素的大小顺序和A相同。此时答案为\(\frac{n}{2} \cdot \frac{1}{n!}\)(其中\(\frac{n}{2}\)表示的是B中元素之和的期望,\(\frac{1}{n!}\)表示的是B中元素大小顺序满足条件的概率)。 问题主要是在于当A中含有相同元素的时候的答案。由于不同的A的全排列所对应的满足条件的B是互不相交的(元素间大小关系不同),所以我们要求出与A RMQ相似的n排列的个数,答案就是这个乘上上面所说的一个排列所对应的答案。接下来找符合条件的全排列(记为C)的个数。 考虑A的一个区间\([l..r]\),设\(m=RMQ(A,l,r)\),那么我构造的\(c_m\)一定是C中该区间中的最大值,\(c_m\)的值可以确定下来。可以发现,当取任意的\(l \leq l_0…