[ HDU6309 ] Absolute

题目大意:给定n个区间\([l_i , r_i]\),\(-10^6 \leq l_i \leq r_i \leq 10^6\)且\(l_i , r_i\)都为整数,\(x_i\)为对应范围内的一个随机实数,求\(| \sum{x_i} | \)的期望。\( n \leq 15\),答案对998244353取模。 题解:和这道题基本上是一样的,容斥方法一样。 分成\(\sum{x_i}\)小于0和大于0两部分来考虑,两部分的做法一样。以小于0的部分为例,首先将范围进行调整,将\(x_i\)的范围调整为\([0,r_i – l_i]\),那么符合条件的范围即\( \sum{l_i} + \sum{x_i} < 0\),即\( 0 \leq |\sum{x_i}| < |\sum{l_i}| \),求此时\( |\sum{l_i}| – |\sum{x_i}|\)的期望。容斥的方法和上面的那个是一样的,不同之处在于这题求的不是概率,还要考虑\(\sum{x_i}\)的期望。这里可以通过积分求出,当\[0 \leq x_i \leq a\] \[0 \leq \sum{x_i} \leq a\]时,该部分\(a – \sum{x_i}\)的期望为\(\frac{a^n}{xpro \cdot n!}\),其中\(xpro = \prod{(r_i – l_i)}\)。(不是很严谨,意会一下即可)

[ SPOJ ] RNG – Random Number Generator

题意:有n个正整数\(1 \leq x_1…x_n \leq 10\),\(a_i\)为\([-x_i,x_i]\)范围内的一个随机的实数,求\(a \leq \sum a_i \leq b\)的概率。\( (n \leq 10) \) 题解:这题有一个n=2的版本。 首先将a和b都加上\(\sum x_i\),那么问题中\(a_i\)范围变为\([0,2x_i]\)。和链接中的题目一样,考虑容斥。另外由于统计和在一个区间内难度比较大,所以就考虑和\( \leq b\)的概率减去和\( \leq a\)的概率。 设\(f(x)\)为\(0\leq a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\leq x\)时\(\sum a_i\leq x\)的概率\(*x^n\)。n=1时概率为1,n=2时概率为\(\frac{1}{2}\),n=3时概率为\(\frac{1}{6}\),(可以结合图形来看,如n=3时表示的是由(0,0,0),(x,0,0),(0,x,0),(0,0,x)四点构成的三棱锥的体积)由此可以类推\(f(n)=\frac{x^n}{n!}\)。\(x\leq 0\)时\(f(x)=0\)。 先讨论n=2的情形。n=2时答案为\[\frac{f(a)-f(a-2x_1)-f(a-2x_2)+f(a-2x_1-2x_2)}{\prod{2x_i}}\] 即先计算\begin{aligned}0\leq a_1\leq a \\ 0\leq a_2\leq a \\ 0\leq a_1+a_2\leq a \end{aligned}的情况,减去\begin{aligned}2x_1\leq a_1\leq a \\ 0\leq a_2\leq a \\ 2x_1\leq a_1+a_2\leq a \end{aligned}的情况和\begin{aligned}0\leq a_1\leq a \\ 2x_2\leq…

[ TCO2016 Round 2B DIV1 Easy ] TriangleTriples

题意:给出\(a,b,c,1<=a,b,c<=10^9\),求所有的满足\(1 \leq x \leq a,1 \leq y \leq b,1 \leq z \leq c\)且由\(x,y,z\)为三边长能组成三角形的方案数。(\(a,b,c,x,y,z\)均为整数) 题解:用容斥做这道题目会比较简单。首先设\(a \leq b \leq c\)。考虑容斥,答案即\(abc\)减去所有\(x \geq y+z,y \geq x+z,z \geq x+y\)的方案数。由于\(x \geq y+z,y \geq x+z,z \geq x+y\)是独立的,所以可以分别计算。 考虑\(x \geq y+z\),由于\(y+z \leq a\),那么显然有\begin{aligned}1 \leq x \leq a \\ 1 \leq y \leq a \\ 1 \leq z \leq a \end{aligned}答案显然为\(\sum_{i=1}^{a-1}{\frac{i(i+1)}{2}}=\frac{a(a+1)(a-1)}{6}=C_{a+1}^{3}\),后面的组合数可以理解为在\(0…a\)中选出三个点\(x_0,x_1,x_2,0 \leq x_0<x_1<x_2 \leq…

[ HDU6305 ] RMQ Similar Sequence

        题意:定义一个数列A的\(RMQ(A,l,r)\)为使得\(a_i\)为\(a_l,a_{l+1},a_{l+2}, \cdots ,a_r\)中最大数的最小的i。         对于两个数列A与B,定义它们RMQ相似当且仅当两数列元素个数相等且对于所有的\(1 \leq l \leq r \leq n\),有\( RMQ(A,l,r)=RMQ(b,l,r)\)。         现在给你一个正整数数列\(\{a_i\}\),其中\(1 \leq a_i \leq n\),对于实数数列\(\{b_i\}\),其中\(b_i\)为\([0…1]\)中随机的一个实数,当数列A与B  RMQ相似时,B的权值为\(\sum{b_i}\),否则为0,求B权值的期望。(答案对\(10^9 + 7\)取模)(\(1 \leq n \leq 10^6\))         题解:首先要观察两个序列RMQ相似的条件。当数列A是一个1..n的全排列时,两个序列RMQ相似当且仅当B中元素的大小顺序和A相同。此时答案为\(\frac{n}{2} \cdot \frac{1}{n!}\)(其中\(\frac{n}{2}\)表示的是B中元素之和的期望,\(\frac{1}{n!}\)表示的是B中元素大小顺序满足条件的概率)。         问题主要是在于当A中含有相同元素的时候的答案。由于不同的A的全排列所对应的满足条件的B是互不相交的(元素间大小关系不同),所以我们要求出与A  RMQ相似的n排列的个数,答案就是这个乘上上面所说的一个排列所对应的答案。接下来找符合条件的全排列(记为C)的个数。         考虑A的一个区间\([l..r]\),设\(m=RMQ(A,l,r)\),那么我构造的\(c_m\)一定是C中该区间中的最大值,\(c_m\)的值可以确定下来。可以发现,当取任意的\(l \leq l_0…

[ HDU6304 ] Chiaki Sequence Revisited

        题意:有一个数列定义如下:\(a_1 = a_2 = 1, a_n = a_{n-a_{n-1}} + a_{n-1-a_{n-2}} (n \geq 3) \),求\(\sum_{i=1}^n{a_i}\)。(\( 1 \leq n \leq 10^{18}\),多组数据,\(T \leq 10^5\))         题解:先打个表观察一下。数列从1开始如下:1 1 2 2 3 4 4 4 5 6 6 7 8 8 8 8 9 10 10 11 12 12 12 13 14 14…